Trực tâm là gì? Xác định trực tâm trong tam giác

PP

Trực tâm của tam giác là giao điểm của 3 đường cao, nghĩa là giao điểm của các đường thẳng từ mỗi đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện của nó tạo thành một góc vuông. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

Trực tâm của tam giác

Trực tâm là gì?
Cách xác định trực tâm của tam giác
Tính chất của trực tâm tam giác
Bài tập xác định, chứng minh trực tâm tam giác

Trực tâm là gì?

Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

Cụ thể: Trong hình vẽ $AD;BE;CF$ là các đường cao, $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ .

Xác định trực tâm trong tam giác

Cách xác định trực tâm của tam giác

Để xác định trực tâm của tam giác, ta đi tìm giao điểm của hai đường cao trong tam giác đó.

Chú ý: a) Nếu tam giác $ABC$ là tam giác nhọn thì trực tâm $H$ nằm trong tam giác.

Xác định trực tâm trong tam giác

b) Nếu tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ thì trực tâm $H$ trùng với điểm $A$ .

Xác định trực tâm trong tam giác

c) Nếu tam giác $ABC$ là tam giác tù thì trực tâm $H$ nằm ngoài tam giác.

Xác định trực tâm trong tam giác

Tính chất của trực tâm tam giác

Tính chất 1: Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh của tam giác, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác là bốn điểm trùng nhau.

Tính chất 2: Trực tâm cắt đường trung trực của hai cạnh thành hai đoạn có độ dài bằng nhau. Điều này có nghĩa là trực tâm cách các đỉnh của tam giác một khoảng bằng nhau.

Tính chất 3: Trực tâm là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác, nghĩa là nếu ta vẽ một đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác, trực tâm sẽ là tâm của đường tròn đó.

Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn nằm bên trong tam giác, trong khi trực tâm của tam giác tù nằm bên ngoài tam giác.

Tính chất 5: Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông của tam giác vuông đó.

Tính chất 6: Trực tâm là điểm duy nhất trong tam giác mà nếu ta vẽ các đường từ trực tâm đến các đỉnh của tam giác, tổng độ dài các đường đó là nhỏ nhất. Điều này có nghĩa là trực tâm nằm gần nhất với các đỉnh của tam giác so với bất kỳ điểm nào khác.

Tính chất 7: Trực tâm cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác, tức là đường tròn lớn nhất mà có thể vẽ được qua ba đỉnh của tam giác.

Bài tập xác định, chứng minh trực tâm tam giác

Ví dụ: Cho $∆ABC$ không vuông. Gọi $H$ là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác $HBC$ . Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Trực tâm của giác giác HBC

Gọi $D, E, F$ là chân các đường vuông góc kẻ từ $A, B, C$ của ΔABC.

$⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.$

Xét ΔHBC có :

$AD ⊥ BC$ nên AD là đường cao từ H đến BC.

$BA ⊥ HC$ tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

$CA ⊥ BH$ tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

$AD, BA, CA$ cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ . Gọi trung điểm của $BH$ là $D$ , trung điểm của $AH$ là $E$ . Xác định trực tâm tam giác $ADE$ .

Hướng dẫn giải

Xét bài toán phụ nếu tam giác $ABC$ có $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và AC thì $MN // BC$ và $BC = 2MN$ .

Thật vậy, trên tia đối của tia $NM$ lấy điểm $P$ sao cho $NP = MN$

Xác định trực tâm trong tam giác

Xét tam giác AMN và tam giác CPN có

$AM = NC$

$\widehat{ANM} = \widehat{CNP}$ (đối đỉnh)

$MN = NP$

$=> ∆AMN = ∆ CPN (c – g – c)$

$=> MA = CP$ , $\widehat{MAN} = \widehat{NCP}$ (hai cạnh và hai góc tương ứng)

Hai góc $\widehat{MAN};\widehat{NCP}$ ở vị trí so le trong nên $AM // CP$

=> $\widehat{BMC} = \widehat{MCP}$ (hai góc so le trong)

Xét tam giác BMC và tam giác PCM có

$MB = CP = MA$

$\widehat{BMC} = \widehat{PCM}$ (cmt)

MC là cạnh chung

$=> ∆BMC = ∆PCM (c – g – c)$

$=> BC = NP$ , $\widehat{BCM} = \widehat{CMP}$ (cặp cạnh và góc tương ứng)

Hai góc $\widehat{BCM};\widehat{CMP}$ ở vị trí so le trong nên $MN // BC$

Ta lại có $MP = MN + NP = 2MN$

$=> BC = 2MN$

Xác định trực tâm trong tam giác

Xét tam giác HAB có:

$BD = DH$

$EA = EH$

$=> DE // AB$ (theo chứng minh bên trên)

Xét tam giác ADE có

$CD ⊥ AE$ mặt khác $CA ⊥ AB$ và $DE // AB$

$=> CA ⊥ DE$

$=> CA, DC$ là đường cao của tam giác ADE

Mà C là giao điểm của AC và DC

=> C là trực tâm của tam giác ADE

Ví dụ: Cho $∆ABC$ cân tại A có $\widehat{C} = 70^{0}$ , đường cao $BH$ cắt đường trung tuyến $AM;(M \in BC)$ tại $K$ . Chứng minh $CK\bot AB$ và tính $\widehat{HKM}$ ?