Cách giải phương trình bậc 2

A. Phương trình bậc 2 là gì?

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng ax2+bx+c=0 (a≠0) (1).

Giải phương trình bậc 2 là đi tìm các giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình (1) thì thỏa mãn ax2+bx+c=0.

B. Giải phương trình bậc 2

Bước 1: Tính Δ=b2-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

  • Δ < 0 => phương trình (1) vô nghiệm
  • Δ = 0 => phương trình (1) có nghiệm kép x_{1} =x_{2} = - \frac{b}{2a}
  • Δ > 0 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta dùng công thức nghiệm sau:

x_{1} =\frac{-b+\sqrt{\triangle } }{2a}x_{2} =\frac{-b-\sqrt{\triangle } }{2a}

C. Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

  • Nếu phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a
\neq 0)a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm \left\{ \begin{matrix}x_{1} = 1 \\x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.
  • Nếu phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a
\neq 0)a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là: \left\{ \begin{matrix}x_{1} = - 1 \\x_{2} = \dfrac{- c}{a} \\\end{matrix} \right.
Cách giải phương trình bậc 2
Cách giải phương trình bậc 2

D. Sử dụng Hệ thức Vi – et

Định lí Vi – ét

Nếu x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq
0) thì \left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.

Định lí Vi - et đảo

Nếu hai số x_{1};x_{2} \left\{ \begin{matrix}
S = x_{1} + x_{2} \\
P = x_{1}.x_{2} \\
\end{matrix} \right. thì x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình x^{2} - Sx + P = 0, (x_{1};x_{2} tồn tại khi S^{2} - 4P \geq 0)

E. Ví dụ giải phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Giải phương trình bậc hai sau: x^{2} - 49x - 50 = 0

Hướng dẫn giải

Cách 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = -49; c = -50)

\begin{matrix}
\Delta = ( - 49)^{2} - 4.1.( - 50) = 2601 \\
\Rightarrow \sqrt{\Delta} = 51 \\
\end{matrix}

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \left\{ \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- ( - 49) - 51}{2} = - 1 \\x_{2} = \dfrac{- ( - 49) + 51}{2} = 50 \\\end{matrix} \right.

Cách 2: Nhẩm nghiệm

Do a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

Nên phương trình có hai nghiệm \left\{
\begin{matrix}
x_{1} = - 1 \\
x_{2} = 50 \\
\end{matrix} \right.

Cách 3: \Delta = ( -
49)^{2} - 4.1.( - 50) = 2601 > 0

Theo định lí Vi – et ta có:

\left\{ \begin{matrix}
S = x_{1} + x_{2} = 49 = ( - 1) + 50 \\
P = x_{1}.x_{2} = - 50 = ( - 1).50 \\
\end{matrix} \right.

Vậy phương trình có hai nghiệm: \left\{\begin{matrix}x_{1} = - 1 \\x_{2} = - \dfrac{- 50}{1} = 50 \\\end{matrix} \right.

Ví dụ 2: Giải phương trình 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình (2) đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

x_{1} =\frac{-(-2)+\sqrt{100} }{2.4} =\tfrac{3}{2}x_{2} = \frac{-(-2)-\sqrt{100} }{2.4} =-1

Bạn cũng có thể nhẩm theo cách nhẩm nghiệm nhanh, vì nhận thấy 4-(-2)+6=0, nên x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. Nghiệm vẫn giống ở trên.

Ví dụ 3: Giải phương trình 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

Tính Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) có 2 nghiệm phân biệt:

x_{1} =\frac{-(-7)+\sqrt{25} }{2.2} = 3x_{1} =\frac{-(-7)-\sqrt{25} }{2.2} = \frac{1}{2}

Để kiểm tra xem bạn đã tính nghiệm đúng chưa rất dễ, chỉ cần thay lần lượt x1, x2 vào phương trình 3, nếu ra kết quả bằng 0 là chuẩn. Ví dụ thay x1, 2.32-7.3+3=0.

Ví dụ 4: Giải phương trình 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

Tính Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0 => phương trình (4) vô nghiệm.

Ví dụ 5: Giải phương trình x2 – 4x +4 = 0 (5)

Tính Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => phương trình (5) có nghiệm kép:

x_{1} =x_{2} =\frac{-(-4)}{2.1} =2

Thực ra nếu nhanh ý, bạn cũng có thể nhìn ra đây chính là hằng đẳng thức đáng nhớ (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 nên dễ dàng viết lại (5) thành (x - 2)2 = 0 <=> x=2.

F. Phân tích đa thức thành nhân tử

Nếu phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2, lúc nào bạn cũng có thể viết nó về dạng sau: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

Trở lại với phương trình (2), sau khi tìm ra 2 nghiệm x1, x2 bạn có thể viết nó về dạng: 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Giải phương trình bậc hai chứa tham số

1. Phương trình có nghiệm \Leftrightarrow
\Delta \geq 0

2. Phương trình vô nghiệm \Leftrightarrow
\Delta < 0

3. Phương trình có nghiệm duy nhất (Nghiệm kép hay hai nghiệm bằng nhau) \Leftrightarrow \Delta =
0

4. Phương trình có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) \Leftrightarrow \Delta > 0

5. Phương trình có hai nghiệm cùng dấu \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
P > 0 \\
\end{matrix} \right.

6. Phương trình có hai nghiệm trái dấu \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta > 0 \\
P < 0 \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow a.c < 0

7. Phương trình có hai nghiệm dương (Hai nghiệm lớn hơn 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
\begin{matrix}
S > 0 \\
P > 0 \\
\end{matrix} \\
\end{matrix} \right.

8. Phương trình có hai nghiệm âm (Hai nghiệm nhỏ hơn 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
\begin{matrix}
S < 0 \\
P > 0 \\
\end{matrix} \\
\end{matrix} \right.

9. Phương trình có hai nghiệm đối nhau \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
S = 0 \\
\end{matrix} \right.

10. Hai nghiệm nghịch đảo nhau \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta \geq 0 \\
P = 1 \\
\end{matrix} \right.

Điều cần ghi nhớ:\left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.

Đi liền với phương trình bậc 2 còn có định lý Vi-et với rất nhiều ứng dụng như tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 đã nói ở trên, tìm 2 số khi biết tổng và tích, xác định dấu của các nghiệm, hay phân tích thành nhân tử. Đây đều là những kiến thức cần thiết sẽ gắn liền với bạn trong quá trình học đại số, hay các bài tập giải và biện luận phương trình bậc 2 sau này, nên cần ghi nhớ kỹ và thực hành cho nhuần nhuyễn.

Nếu có ý định theo học lập trình, bạn cũng cần có những kiến thức toán cơ bản, thậm chí kiến thức toán chuyên sâu, tùy thuộc vào dự án bạn sẽ làm.

Thứ Hai, 10/06/2024 08:09
4131 👨 713.869
0 Bình luận
Sắp xếp theo
    ❖ Cấu trúc dữ liệu và giải thuật