Số thực là gì?

PP

Số thực là gì, tập hợp số thực gồm những số nào? Mời các bạn đọc bài viết dưới đây để hiểu rõ hơn về kiến thức toán học quan trọng này nhé.

Số thực

1. Số thực là gì?
2. Trục số thực
3. So sánh các số thực
3. Tính chất của tập số thực
4. Giá trị tuyệt đối của một số thực
5. Bài tập ví dụ về số thực

1. Số thực là gì?

Số thực là tập hợp số hữu tỉ và số vô tỉ.
Tập hợp $\mathbb{R}$ là ký hiệu của tập hợp số thực, gồm các số thực.

Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ (a, b ∈ Z, b ≠ 0). Ví dụ $- \frac{1}{2};\frac{6}{5};...$
Tập số hữu tỉ ký hiệu là $\mathbb{Q}$
Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ví dụ: $\sqrt{2},\sqrt{3};....$
Tập số vô tỉ được ký hiệu là $I$

$\mathbb{R = Q \cup}I$

Tập số thực $\mathbb{R}$ phủ kín trục số.

Ví dụ: $1;\frac{1}{2}; - 1.254, - 3\frac{1}{4},\sqrt{5},....$

2. Trục số thực

Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.

Ngược lại mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.
Chỉ có tập hợp số thực mới lấp đầy trục số.

3. So sánh các số thực

Phương pháp

Với hai số thực x, y bất kì, ta luôn có x = y hoặc x < y hoặc x > y
Các số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương, các số thực nhỏ hơn 1 gọi là các số thực âm. Số 0 không là số thực dương cũng không là số thực âm
Việc so sánh các số thực dương làm tương tự như so sánh các số hữu tỉ
Với a, b là hai số thực dương, nếu a > b thì $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ .

Ví dụ: Điền một chữ số thích hợp vào chỗ vuông:

a) -7,5(...)8 > -7,513	b) -3,02 < -3,(...)1
c) -0,4(...)854 < -0,49826	d) -1,(...)0765 < -1,892

Hướng dẫn giải

a) -7,5(0)8 > -7,513

b) -3,02 < -3,(0)1

c) -0,4(9)854 < -0,49826

d) -1,(9)0765 < -1,892

Ví dụ: Sắp xếp các số thực: $-3,2; 1; 7,4; 0; -1,5$ theo thứ tự từ nhỏ đến lớn

Hướng dẫn giải

Sắp xếp các số thực theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: $-3,2 < -1,5 < 0 < 1 < 7,4$

Ví dụ: Chứng minh rằng:

Với a, b là hai số thực dương nếu a > b thì $a^{2} > b^{2}$

Hướng dẫn giải

Nếu a > b thì $a^{2} > b^{2}$

a, b là hai số thực dương nên a + b > 0

Nếu a > b thì a – b > 0

Xét tích

$(a + b) (a – b)$

$= a(a – b) + b(a – b)$

$= a^2 – ab + ab – b^2$

$= a^2 – b^2$

Vì $a + b > 0, a – b > 0$ nên $(a + b)(a – b) > 0$ hay a² – b² > 0

=> a² > b² => dpcm

3. Tính chất của tập số thực

Trong tập hợp $\mathbb{R}$ , ta cũng định nghĩa các phép toán cộng trừ, nhân, chia, lũy thừa, căn bậc…Và trong các phép toán các số thực cũng có các tính chất như các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ.

Trong tập hợp các số thực, các phép tính có các tính chất đối với phép nhân như sau:

Với mọi $a, b, c$ thuộc $\mathbb{R}$ :
Cộng với số 0: $a + 0 = a$
Tính chất giao hoán: $a + b = b + a$ ;
Tính chất kết hợp: $(a + b) + c = a + (b + c)$
Tính chất giao hoán: a. b = b. a
Tính chất kết hợp: (a. b). c = a. (b. c)
Tính chất nhân với số 1: $a. 1 = 1. a = a$
Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a. (b + c) = a. b + a. c
Với mỗi số thực a ≠ 0, có số nghịch đảo $\frac{1}{a}$ sao cho $\frac{1}{a}.a = 1$

- Tức là với các phép tính trên $\mathbb{R}$ cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp như trên các tập số khác. Và điều đó tương tự với các phép trừ, nhân, chia…

Mối quan hệ giữa các tập số

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Ví dụ: Thực hiện phép tính: $\left( \frac{1}{12} - 0,32 \right):\left( 4\frac{2}{3} + 0,15 \right)$

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} \left( {\dfrac{1}{{12}} - 0,75} \right):\left( {4\dfrac{2}{3} + 3,5} \right) \hfill \\ = \left( {\dfrac{1}{{12}} - \dfrac{{75}}{{100}}} \right):\left( {\dfrac{{14}}{3} + \dfrac{{35}}{{10}}} \right) \hfill \\ = \left( {\dfrac{1}{{12}} - \dfrac{3}{4}} \right):\left( {\frac{{14}}{3} + \dfrac{{21}}{6}} \right) \hfill \\ = \left( {\dfrac{1}{{12}} - \dfrac{9}{{12}}} \right):\left( {\dfrac{{28}}{6} + \dfrac{{21}}{6}} \right) \hfill \\ = \dfrac{{ - 8}}{{12}}.\dfrac{6}{{49}} = \dfrac{{ - 4}}{{49}} \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ: Tìm x, biết: $\left( 1\frac{3}{7} - x \right).3\frac{1}{3} = - 2\frac{31}{42}$

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} \left( {1\dfrac{3}{7} - x} \right).3\dfrac{1}{3} = - 2\dfrac{{31}}{{42}} \hfill \\ 1\dfrac{3}{7} - x = - 2\dfrac{{31}}{{42}}:3\dfrac{1}{3} \hfill \\ 1\dfrac{3}{7} - x = \dfrac{{ - 23}}{{28}} \hfill \\ x = 1\dfrac{3}{7} + \dfrac{{23}}{{28}} \hfill \\ x = 2\dfrac{1}{4} \hfill \\ \end{matrix}$

4. Giá trị tuyệt đối của một số thực

Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a (a là số thực). Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.

Tổng quát:

Nếu $a \geq 0 \Rightarrow |a| = a$
Nếu $a < 0 \Rightarrow |a| = - a$
Nếu $x - a \geq 0 \Rightarrow |x - a| = x - a$
Nếu $x - a \leq 0 \Rightarrow |x - a| = a - x$

Tính chất

Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
Tổng quát: $|a| \geq 0$ với mọi a ∈ R

Cụ thể:

$|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$
$|a| \neq 0 \Leftrightarrow a \neq 0$

Một vài tính chất

- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.

Tổng quát: $|a| = |b| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = b \\ a = - b \\ \end{matrix} \right.$