Mệnh đề là gì? Mệnh đề chứa biến là gì? Các loại mệnh đề cần ghi nhớ

Mệnh đề là một trong những kiến thức toán học quen thuộc trong môn Toán học đối với các bạn học sinh. Mệnh đề được chia thành nhiều loại khác nhau như mệnh đề chứa biến, mệnh đề phủ định, mệnh đề đảo... Vậy mệnh đề là gì? Mời các đọc bài viết dưới đây để biết định nghĩa về mệnh đề, có những loại mệnh đề nào cần ghi nhớ và các ví dụ về mệnh đề trong bài viết dưới đây nhé.

1. Mệnh đề là gì?

Không có một khái niệm cụ thể, nhưng mệnh đề được hiểu là một câu khẳng định có thể xác định được tính đúng, sai của nó.

• Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
• Một câu khẳng định đúng là một mệnh đề đúng.
• Một câu khẳng định sai là một mệnh đề sai.
• Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Ngoài ra bạn cần lưu ý, chỉ có câu khẳng định mới là mệnh đề. Còn các câu cảm thán, cầu khiến hay câu nghi vấn không phải mệnh đề.

Ký hiệu của mệnh đề

Mệnh đề thường được ký hiệu bằng chữ cái in hoa.

Ví dụ:

• Cho mệnh đề P: 6 là một số chia hết cho 3. Vậy đây là một mệnh đề đúng.
• Mệnh đề Q: 9 là một số chia hết cho 2. Đây là một mệnh đề sai.

2. Mệnh đề chứa biến là gì?

Những câu khẳng định mà tính đúng sai của chúng tùy thuộc vào biến được gọi là mệnh đề chứa biến.

Ví dụ 1: Cho mệnh đề P(n) với n là số nguyên tố

Vậy với P(2) là mệnh đề đúng còn P(6) là mệnh đề sai và mệnh đề P(n) được gọi là mệnh đề chứa biến.

Ví dụ 2: 

“n chia hết cho 3” là mệnh đề chứa biến

n=1 ⇒ “1 chia hết cho 3” là mệnh đề sai

n=9 ⇒ “9 chia hết cho 3” là mệnh đề đúng

3. Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P, mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và được ký hiệu là P.

Nếu mệnh đề P đúng thì P sẽ là mệnh đề sai và ngược lại.

Với một mệnh đề P ta có nhiều cách để diễn đạt P.

Ví dụ 1: Cho mệnh đề P: tổng 2 cạnh của tam giác lớn hơn cạnh còn lại.

Vậy P có thể được diễn đạt như sau: tổng 2 cạnh của tam giác nhỏ hơn cạnh còn lại, hoặc: tổng 2 cạnh của tam giác không lớn hơn cạnh còn lại.

Ví dụ 2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai:

a) Phương trình x² - 3x + 2 = 0 có nghiệm.

b) 2¹⁰ - 1 chia hết cho 11.

c) Có vô số số nguyên tố.

Lời giải:

a) Phương trình x² - 3x + 2 = 0 vô nghiệm. Mệnh đề phủ định sai vì phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = 2.

b) 2¹⁰ - 1 không chia hết cho 11. Mệnh đề phủ định sai.

c) Có hữu hạn số nguyên tố, mệnh đề phủ định sai.

4. Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” là mệnh đề kéo theo.

Kí hiệu: P⇒Q

Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng, Q sai.

Ví dụ: cho mệnh đề: nếu tam giác ABC có 3 góc bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

• GT: Tam giác ABC có 3 góc bằng nhau (mệnh đề P)
• KL: Tam giác ABC là tam giác đều (mệnh đề Q).

5. Mệnh đề đảo – hai mệnh đề tương đương

Cho mệnh đề P⇒Q thì mệnh đề Q⇒P được gọi là mệnh đề đảo của P⇒Q.

Mệnh đề P khi và chỉ khi Q được gọi là mệnh đề tương đương. Kí hiệu: P ⇔ Q.

Mệnh đề P ⇔ Q đúng hoặc sai khi cả P và Q cùng đúng hoặc cùng sai.

Ví dụ: Mệnh đề: Nếu x là một số nguyên thì x + 5 cũng là một số nguyên và Nếu x + 5 là một số nguyên thì x cũng là một số nguyên được gọi là mệnh đề đảo.

6. Một số chú ý về mệnh đề

Khi nhắc tới mệnh đề toán học, ta cần ghi nhớ 2 ký hiệu sau:

Kí hiệu: ∀ – được gọi là với mọi.

Ví dụ: cho mệnh đề: Q(n) với biến n thuộc tập X.

Có câu khẳng định: Với mọi n bất kì thuộc X thì Q(n) đúng được ký hiệu là ∀n ∈ X : Q(n).

Kí hiệu: ∃ được gọi là tồn tại

Ví dụ: có ít nhất một n ∈ X (hay tồn tại n ∈ X) để Q(n) là mệnh đề đúng kí hiệu là ∃n ∈ X : Q(n).

Ngoài ra, đối với với mệnh đề tương đương ta cần lưu ý, hai mệnh đề P và Q tương đương với nhau thì không có nghĩa là nội dung của nó như nhau mà chỉ có thể nói P và Q cùng đúng hoặc cùng sai (hoặc nó cùng nói lên một giá trị chân lý).

7. Các dạng bài tập Mệnh đề

Cách xác định tính đúng sai của mệnh đề

Phương pháp giải

• Mệnh đề: xác định giá trị (Đ) hoặc (S) của mệnh đề đó.
• Mệnh đề chứa biến p(x): Tìm tập hợp D của các biến x để p(x) (Đ) hoặc (S).

Ví dụ 1: Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề, hãy xác định tính đúng sai.

a) x² + x + 3 > 0

b) x²+ 2 y > 0

c) xy và x + y

Lời giải:

a) Đây là mệnh đề đúng.

b) Đây là câu khẳng định nhưng chưa phải là mệnh đề vì ta chưa xác định được tính đúng sai của nó (mệnh đề chứa biến).

c) Đây không là câu khẳng định nên nó không phải là mệnh đề.

Ví dụ 2: Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

1) 21 là số nguyên tố

2) Phương trình x² + 1 = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt

3) Mọi số nguyên lẻ đều không chia hết cho 2

4) Tứ giác có hai cạnh đối không song song và không bằng nhau thì nó không phải là hình bình hành.

Lời giải:

1) Mệnh đề sai vì 21 là hợp số.

2) Phương trình x² + 1 = 0 vô nghiệm nên mệnh đề trên sai

3) Mệnh đề đúng.

4) Tứ giác có hai cạnh đối không song song hoặc không bằng nhau thì nó không phải là hình bình hành nên mệnh đề sai.

Cách phát biểu mệnh đề điều kiện cần và đủ

Phương pháp giải

Mệnh đề: P ⇒ Q

Khi đó: P là giả thiết, Q là kết luận

Hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P

Ví dụ 1:

Xét mệnh đề: "Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau"

Hãy phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ.

Lời giải:

1) Điều kiện cần: Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau.

2) Điều kiện đủ: Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau.

3) Điều kiện cần và đủ: Không có

Vì A⇒B: đúng nhưng B⇒A sai, vì " Hai tam giác có diện tích bằng nhau nhưng chưa chắc đã bằng nhau".