Hàm số chẵn là gì? Hàm số lẻ là gì?

Hàm số chẵn là gì? Không chỉ có hàm số chẵn, hàm số lẻ là gì cũng rất được quan tâm. Hãy cùng nhau tìm hiểu về hai khái niệm này nhé!

Các hàm trong toán học có thể được phân loại thành hàm chẵn và hàm lẻ dựa trên tính đối xứng của chúng dọc theo trục. Hàm chẵn là hàm không đổi khi đầu vào của nó bị phủ định (đầu ra giống nhau cho x và -x), phản ánh tính đối xứng quanh trục y. Mặt khác, hàm lẻ biến thành hàm âm khi đầu vào của nó bị phủ định, thể hiện tính đối xứng quanh gốc tọa độ. Hàm f là hàm chẵn nếu f(-x) = f(x), với mọi x trong miền xác định của f. Hàm f là hàm lẻ nếu f(-x) = -f(x) với mọi x trong miền xác định của f, tức là:

• Hàm chẵn: f(-x) = f(x)
• Hàm lẻ: f(-x) = -f(x)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận chi tiết về hàm chẵn và hàm lẻ, định nghĩa hàm chẵn và hàm lẻ, hàm chẵn và hàm lẻ trong lượng giác, đồ thị hàm chẵn và hàm lẻ cùng nhiều nội dung khác và những thông tin cần biết khác.

Hàm số chẵn là gì?

Hàm số y = f (x) có tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

Ví dụ: Hàm số y = x² là hàm số chẵn

Hàm số lẻ là gì?

Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

Ví dụ: Ví dụ: Hàm số y = x là hàm số lẻ

Chú ý. Điều kiện thứ nhất gọi là điều kiện tập xác định đối xứng qua số 0.

Ví dụ D = (-2;2) là tập đối xứng qua số 0, còn tập D' = [-2;3] là không đối xứng qua 0.

Tập R = (−∞;+∞) là tập đối xứng.

Chú ý: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ.

Ví dụ: Hàm số y = 2x + 1 không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ vì:

Tại x = 1 có f(1) = 2.1 + 1 = 3

Tại x = -1 có f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1

→ Hai giá trị f(1) và f(-1) không bằng nhau và cũng không đối nhau.

Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ

Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.

Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.

Hàm số không chẵn không lẻ là gì?

Không phải bất kỳ hàm số nào cũng có thể xác định là hàm số chẵn hoặc lẻ. Một số dạng hàm số vừa không phải là hàm chẵn cũng không phải là hàm lẻ như: y=x²+x, y=tan(x-1),…

Ngoài ra, còn có một dạng hàm số đặc biệt là hàm vừa chẵn vừa lẻ. Ví dụ như hàm y=0

Nhớ một hàm số chẵn lẻ thường gặp

Hàm số chẵn

y = ax2 + bx + c khi và chỉ khi b = 0

Hàm trùng phương bậc 4

y = cosx

y = f(x)

Hàm số lẻ

y = ax + b khi và chỉ khi b = 0

y = ax3 + bx2 + cx + d khi và chỉ khi b = d = 0

y = sinx; y = tanx; y = cotx

Một số trường hợp khác

F(x) là hàm số chẵn và có đạo hàm trên tập xác định thì đạo hàm của nó là hàm lẻ.

F(x) là hàm số lẻ và có đạo hàm trên tập xác định thì đạo hàm của nó là hàm chẵn.

Hàm số đa thức bậc lẻ thì không phải là hàm chẵn.

Hàm số đa thức bậc chẵn thì không phải là hàm lẻ.

Cách xác định hàm số chẵn, hàm số lẻ

Để xác định hàm số chẵn lẻ ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định: D

Nếu ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D Chuyển qua bước ba

Nếu ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2: Thay x bằng -x và tính f(-x)

Bước 3: Xét dấu (so sánh f(x) và f(-x)):

° Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số f chẵn

° Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số f lẻ

° Trường hợp khác: hàm số f không có tính chẵn lẻ

Bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số

Bài 4 trang 39 SGK Đại số 10: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = |x|;

b) y = (x + 2)2;

c) y = x3 + x;

d) y = x2 + x + 1.

Giải

a) Đặt y = f(x) = |x|.

° TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

° f(–x) = |–x| = |x| = f(x).

→ Vậy hàm số y = |x| là hàm số chẵn.

b) Đặt y = f(x) = (x + 2)2.

° TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x).

→ Vậy hàm số y = (x + 2)2 làm hàm số không chẵn, không lẻ.

c) Đặt y = f(x) = x3 + x.

° TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)

→ Vậy y = x3 + x là hàm số lẻ.

d) Đặt y = f(x) = x2 + x + 1.

° TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)

→ Vậy hàm số y = x2 + x + 1 là hàm số không chẵn, không lẻ

Có hay không một hàm số xác định trên R vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ?...

Giải:

Dễ thấy hàm số y = 0 là hàm số xác định trên R, vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ.

Giả sử hàm số y = f (x) là một hàm số bất kì có tính chất như thế. Khi đó với mọi x thuộc R ta có :

F (–x) = f (x) (vì f là hàm số chẵn) ;

F (–x) = – f (x) (vì f là hàm số lẻ).

Từ đó suy ra với mọi x thuộc R, xảy ra f(x)=−f(x), nghĩa là f(x)=0. Vậy y=0 là hàm số duy nhất xác định trên R, vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ.

Những câu hỏi thường gặp về hàm số chẵn, lẻ

Hàm số chẵn và lẻ là gì?

Nếu f(x) = f(−x) với mọi x trong miền xác định của chúng, thì các hàm số chẵn đối xứng quanh trục y. Các hàm số lẻ đối xứng quanh gốc tọa độ, nghĩa là với mọi x trong miền xác định của chúng, thì f(−x) = −f(x).

Làm sao để biết một hàm số là chẵn hay lẻ?

Một hàm số là chẵn nếu f(-x) = f(x), và là lẻ nếu f(-x) = -f(x) với mọi phần tử trong miền xác định của f. Nếu nó không thỏa mãn bất kỳ tính chất nào, thì nó không phải là lẻ cũng không phải là chẵn.

Sự khác biệt giữa các hàm số tuần hoàn lẻ và chẵn là gì?

Sự khác biệt giữa các hàm số tuần hoàn lẻ và chẵn: Một hàm số chẵn thỏa mãn f(−x) = f(x) với mọi x trong miền xác định, trong khi một hàm số lẻ thỏa mãn f(−x) = −f(x).

Ngoài hàm số chẵn, lẻ, các bạn có thể tìm hiểu thêm một số kiến thức toán học quan trọng khác như số chính phương, số vô tỉ, số hữu tỉ, số nguyên tố, số tự nhiên... trong mục Giáo dục học tập của Quantrimang.com nhé.