Công thức tính thể tích khối lăng trụ đứng, hình lăng trụ

Hình lăng trụ là một đa giác có hai mặt đáy song song và bằng nhau, mặt bên là hình bình hành.


Hình lăng trụ tứ giác đều

Nhận xét:

  • Các mặt bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau
  • Các mặt bên là các hình bình hành
  • Hai đáy hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau

Công thức tính thể tích khối lăng trụ (V lăng trụ), công thức tính thể tích khối lăng trụ đứng như thế nào? Mời các bạn tham khảo trong bài viết dưới đây.

1. Thể tích khối lăng trụ đứng

Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng:

Thể tích hình lăng trụ đứng bằng tích của diện tích đáy nhân với chiều cao.

V = B.h

Trong đó

  • V là thể tích khối lăng trụ (đơn vị m3)
  • B là diện tích đáy (đơn vị m2)
  • h là chiều cao khối lăng trụ (đơn vị m)

3. Phân loại hình lăng trụ

Hình lăng trụ đều

Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều... thì ta hiểu là hình lăng trụ đều

Hình lăng trụ tam giác đều

Mặt đáy hình tứ giác đều thì gọi là hình lăng trụ tứ giác đều.

Hình lăng trụ tứ giác đều

Hình lăng trụ đứng tam giác

  • Hình lăng trụ đứng tam giác có 5 mặt, 9 cạnh, 6 đỉnh.
  • Hai mặt đáy cùng là tam giác và song song với nhau; Mỗi mặt bên là hình chữ nhật;
  • Các cạnh bên bằng nhau;
  • Chiều cao của hình lăng trụ đứng tam giác là độ dài cạnh bên.

Ví dụ:

Hình lăng trụ đứng tam giác

Hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có:

- Đáy dưới là tam giác ABC, đáy trên là tam giác A'B'C';

Các mặt bên là các hình chữ nhật: AA'B'B, BB'C'C, CC'A'A;

- Các cạnh:

  • Cạnh đáy: AB, BC, CA, A'B', B'C', C'A'
  • Cạnh bên: AA', BB', CC';

- Các đỉnh: A, B, C, A', B', C'.

- Chiều cao là độ dài một cạnh bên: AA' hoặc BB' hoặc CC'.

Hình lăng trụ đứng tứ giác

- Lăng trụ đứng tứ giác có 6 mặt, 12 cạnh, 8 đỉnh.

- Hai mặt đáy cùng là tứ giác và song song với nhau. Mỗi mặt bên là hình chữ nhật.

- Các cạnh bên bằng nhau.

- Chiều cao của hình lăng trụ đứng tứ giác là độ dài một cạnh bên.

Ví dụ:

Hình lăng trụ đứng tứ giác

Hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A'B'C'D' có:

- Đáy dưới là tứ giác ABCD, đáy trên là tứ giác A'B'C'D';

Các mặt bên là các hình chữ nhật: AA'B'B, BB'C'C, CC'D'D, DD'A'A;

- Các cạnh:

+ Cạnh đáy: AB, BC, CD, DA, A'B', B'C', C'D', D'A'

+ Các cạnh bên: AA', BB', CC', DD' bằng nhau.

- Các đỉnh: A, B, C, D, A', B', C', D'.

- Chiều cao là độ dài một cạnh bên: AA' hoặc BB' hoặc CC' hoặc DD'.

Chú ý: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương cũng là lăng trụ đứng tứ giác.

Hình hộp chữ nhật và hình lập phương cũng là lăng trụ đứng tứ giác.

Hình lăng trụ đứng

Nếu như hình lăng trụ mà có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy thì người ta gọi là hình lăng trụ đứng.

Hình lăng trụ đứng


Lưu ý:

Nếu mặt đáy là hình chữ nhật thì hình trụ đứng của tứ giác có tên gọi khác là hình hộp chữ nhật.

Nếu hình trụ đứng tứ giác có 12 cạnh đều có độ dài là a thì tên gọi của nó là hình lập phương.

So sánh khối lăng trụ đứng và khối lăng trụ đều:

ĐỊNH NGHĨA:TÍNH CHẤT
+ Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

+ Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật

+ Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy

+ Chiều cao là cạnh bên

+ Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

+ Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau

+ Chiều cao là cạnh bên

4. Ví dụ về tính thể tích khối lăng trụ đứng

Ví dụ 1: 

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a = 2 cm và chiều cao là h = 3 cm. Hãy tính thể tích hình lăng trụ này?

Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều

Giải:

Vì đáy là tam giác đều cạnh a nên diện tích: S_{A B C}=a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=2^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\left(m^2\right)

Khi này, thể tích hình lăng trụ là:

V=S_{A B C} \cdot h=\sqrt{3} \cdot 3=3 \sqrt{3}\left(m^3\right)

Ví dụ 2: 

Bài 1: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’

Hướng dẫn:

 Cho hình hộp đứng

Do mặt bên ADD’A’ là hình chữ nhật nên ta có:

S_{A A^{\prime} D^{\prime}}=\frac{1}{2} S_{A A^{\prime} D^{\prime} D}

V_{A^{\prime} \cdot A C D^{\prime}}=V_{C \cdot A A^{\prime} D^{\prime}}=\frac{1}{2} V_{C \cdot A A^{\prime} D^{\prime} D}

=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} V_{A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}

=\frac{1}{6} \cdot 3 a \cdot 2 a \cdot 2 a=2 a^3

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của BB'. Tính thể tích của khối chóp M.A’B’C’.

Giải:

Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’

Do A A^{\prime} \perp(A B C) nên suy ra

\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C},(\mathrm{ABC})\right)=\widehat{A^{\prime} C A}=60^{\circ}

Ta có: A A^{\prime}=A C \cdot \tan \widehat{A^{\prime} C A} =a \sqrt{3} \cdot \tan 60^{\circ}=3 a

S_{A^{\prime B}{ }^{\prime \prime} C^{\prime}}=\frac{(a \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4}=\frac{3 a^2 \sqrt{3}}{4}

M B^{\prime}=\frac{A A^{\prime}}{2}=\frac{3 a}{2}

\Rightarrow V_{M \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{1}{3} M B^{\prime} \cdot S_{A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{3 a^2 \sqrt{3}}{8}

Ví dụ 4: 

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt (DBC’) với đáy ABCD một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D?

Lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’

Ta có: AC ⊥ BD tại tâm O của hình vuông ABCD.

Mặt khác CC' ⊥ BD do đó BD ⊥ (COC')

Suy ra ((C'BD),(ABCD)) = ∠(C'OD) = 60º

Lại có:

O C=\frac{A C}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}

\Rightarrow C C^{\prime}=O C \cdot \tan \widehat{C^{\prime} O D} =\frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \tan 60^{\circ}=\frac{a \sqrt{6}}{2}

V_{A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}=S_{A B C D} \cdot C C^{\prime}

=a^2 \cdot \frac{a \sqrt{6}}{2}=\frac{a^3 \sqrt{6}}{2}

Ví dụ 5: 

Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AC'=a√3

Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’

Giải:

Gọi x là độ dài cạnh của hình lập phương

Xét tam giác AA’C vuông tại A có:

Do đó, thể tích của khối lập phương là V=a^3.

Ngoài công thức tính thể tích khối lăng trụ ở trên, các bạn có thể tham khảo thêm bài viết về công thức tính thể tích khối tròn xoay, công thức tính diện tích và chu vi hình tròn...

Thứ Năm, 28/03/2024 15:32
344 👨 624.653
1 Bình luận
Sắp xếp theo
  • Ngoctam Phamvuong
    Ngoctam Phamvuong

    Ai hiểu chỉ mình với;-;

    Mới học lớp 7:)

    Thích Phản hồi 27/12/22
    ❖ Cấu trúc dữ liệu và giải thuật