Cách tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN), bội chung nhỏ nhất (BCNN)

PP

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) là gì, bội chung nhỏ nhất là gì? Cách tìm ước chung lớn nhất, cách tìm bội chung nhỏ nhất? Mời các bạn cùng tham khảo bài viết dưới đây tìm hiểu thêm về kiến thức toán học này nhé.

Ước chung lớn nhất

Mục lục bài viết

Ước chung lớn nhất
Bội chung nhỏ nhất

Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất là gì?

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.
Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.
Ký hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

Trong tiếng Anh, ước chung lớn nhất gọi là greatest common factor (GCF).

Ví dụ: Tìm ƯCLN(24, 16, 32)

Ư(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Ư(16) = {1, 2, 4, 8, 16}

Ư(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}

Vậy ƯCLN(24, 16, 32) = 8

Chú ý: ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.
Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

Cách tìm ước chung lớn nhất

Cách 1: Liệt kê các ước chung của các số rồi chọn ra ƯCLN

Để tìm ước chung lớn nhất của các số, ta tìm tập hợp các ước của từng số đó. Sau đó chọn ước chung lớn nhất.

Ví dụ: Tìm Ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên 16 và 30.

Đầu tiên ta tìm tập hợp các ước của 16 và 30.

Ư(15) = { 1, 2, 4 , 8, 16 }

Ư(30) = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 }

Vậy ƯCLN (16,30) = 2

Cách 2: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các tích thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.

Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(12, 30)

12 = 2 x 2 x 3

30 = 2 x 3 x 5

Ta có: các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.

Vậy ƯCLN(12, 30) = 2 x 3 = 6

Cách 3: Tìm ƯCLN bằng bội chung nhỏ nhất (BCNN) (điều kiện a, b khác 0)

Ước chung lớn nhất của a và b có thể tính bằng cách lấy tích của a và b chia cho bội chung nhỏ nhất (BCNN) của a và b.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(12, 30)

B(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60,...}

B(30) = {0, 30, 60,...}

Ta có: BCNN(12,30) = 60

Vậy ƯCLN(12,30) = 12.30:60 = 6

Cách 4: Sử dụng thuật toán Ơclit

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lấy số lớn chia số nhỏ, giả sử a = b . x + r

+ Nếu r ≠ 0 ta thực hiện bước 2

+ Nếu r = 0 thì ƯCLN(a, b) = b

Bước 2: Lấy số chia chia cho số dư

B=r . y + r1

Nếu r1 # 0, ta thực hiện bước 3.
Nếu r1 = 0 thì ƯCLN(a, b) = r

Bước 3: Quá trình này được tiếp tục cho đến khi được một phép chia hết.

Những lưu ý khi tìm ước chung lớn nhất

Nếu trong các số đã cho có 1 số bằng 1 thì ước chung lớn nhất của các số đó bằng 1.

Ví dụ: ƯCLN(1, 55, 95) = 1

Nếu các số đã cho mà không có thừa số nguyên tố chung thì ước chung lớn nhất của số đó là 1.

Ví dụ: Số 5 và 8 không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN(5,8) = 1

Hai hay nhiều số có ước chung lớn nhất bằng 1 được gọi là những số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ: ƯCLN (6,35) = 1 nên 6 và 35 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Trong các số đã cho, nếu có số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ước chung lớn nhất của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Ví dụ: 5 đều là ước của 5 và 15 nên ƯCLN(5,15) = 5

Các dạng bài tập ước chung lớn nhất

Dạng 1: Tìm ước chung lớn nhất của các số cho trước

Phương pháp giải

Học sinh xem lại phần cách tìm ước chung lớn nhất ở trên.

Ví dụ: Tìm ƯCLN của các số:

a) ƯCLN(18,30)	b) ƯCLN(24,48)
c) ƯCLN(18,30,15)	d) ƯCLN(24,48,36)

Hướng dẫn giải

a) ƯCLN(18,30)

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố $\left\{ \begin{matrix} 18 = 2.3^{2} \\ 30 = 2.3.5 \\ \end{matrix} \right.$

Từ đó ƯCLN(18,30) = 2 . 3 = 6

b) ƯCLN(24,48)

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố $\left\{ \begin{matrix} 24 = 2^{3}.3 \\ 48 = 2^{4}.3 \\ \end{matrix} \right.$

Từ đó $UCLN(24;48) = 2^{3}.3 = 24$

c) ƯCLN(18,30,15)

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố $\left\{ \begin{matrix} 18 = 2.3^{2} \\ 30 = 2.3.5 \\ 15 = 3.5 \\ \end{matrix} \right.$

Từ đó ƯCLN(18,30,15) = 3.

d) ƯCLN(24,48,36)

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố $\left\{ \begin{matrix} 24 = 2^{3}.3 \\ 48 = 2^{4}.3 \\ 36 = 2^{2}.3^{2} \\ \end{matrix} \right.$

Từ đó $UCLN(24,48,36) = 2^{2}.3 = 12$

Ví dụ: Sử dụng thuật toán Ơclit để tìm

a) ƯCLN(174, 18)

b) ƯCLN(124, 16)

Hướng dẫn giải

a) ƯCLN(174, 18)

Ta thực hiện theo các bước: Lấy 174 chia cho 18 ta được:

174 = 9.18 + 12

Lấy 18 chia cho 12 ta được 18 = 1.12 + 6

Lấy 12 chia cho 6 ta được 12 = 2.6 + 0

Vậy ta được ƯCLN(174, 18) = 6

b) ƯCLN(124, 160

Ta thực hiện theo các bước: Lấy 124 chia cho 16 ta được 124 = 7.16 + 12

Lấy 16 chia cho 12 ta được 16 = 1.12 + 4

Lấy 12 chia cho 4 ta được 12 = 3.4 + 0

Vậy ta được ƯCLN(124,16) = 4

Dạng 2. Tìm các ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải.

Bước 1. Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước.
Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN này.
Bước 3. Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.

Lưu ý: nếu không có điều kiện gì của bài toán thì ước chung của hai hay nhiều số là ƯCLN của các số đó.

Cách tìm ước chung thông qua ƯCLN

Bước 1. Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước.
Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN này.

Ví dụ: Tìm các ước chung của 24 và 180 thông qua tìm ƯCLN.

Hướng dẫn giải

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố: $\left\{ \begin{matrix} 24 = 2^{3}.3 \\ 180 = 2^{2}.3^{2}.15 \\ \end{matrix} \right.$

Từ đó $UCLN(24;180) = 2^{2}.3 = 12$

Mà $U(12) = \left\{ 1;2;3;4;6;12 \right\}$

Vậy $UCLN(24;180) = \left\{ 1;2;3;4;6;12 \right\}$

Ví dụ: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn $90 \vdots x;150 \vdots x$ và $5 < x < 30$ .

Hướng dẫn giải

Số tự nhiên thỏa mãn $90 \vdots x;150 \vdots x$ nên $x∈ UCLN(90,150)$

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố $\left\{ \begin{matrix} 9 = 3^{2} \\ 150 = 2.3.5^{2} \\ \end{matrix} \right.$

Từ đó $UCLN(9;150) = 2.3.5 = 30$

Mà $U(30) = \left\{ 1;2;3;5;6;10;15;30 \right\}$

Vì $5 < x < 30$ nên $x \in \left\{ 6;10;15 \right\}$

Dạng 3. Bài toán có lời văn đưa về tìm ƯCLN

Phương pháp giải.

Bước 1: Phân tích đề bài; suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số.
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 bước để tìm ƯCLN đó.

Ví dụ: Một hình chữ nhật có chiều dài 150m và chiều rộng 90m được chia thành các hình vuông có diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh hình vuông lớn nhất trong cách chia trên? (Số đo cạnh là số tự nhiên với đơn vị là mét).

Hướng dẫn giải

Để chia hình chữ nhật thành các hình vuông có diện tích bằng nhau thì độ dài mỗi cạnh hình vuông phải là ước chung của 150 và 90

Do đó độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là ƯCLN (90,150) = 30.

Vậy độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là 30m.

Dạng 4. Chứng minh hai hay nhiều số là các số nguyên tố cùng nhau.

Phương pháp giải.

Bước 1: Gọi d là ƯCLN của các số.
Bước 2: Dựa vào cách tìm ƯCLN và các tính chất chia hết của tổng (hiệu) để chứng minh d = 1.

Ví dụ: Chứng minh 22 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Hướng dẫn giải

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố $\left\{ \begin{matrix} 22 = 2.11.1 \\ 5 = 1.5 \\ \end{matrix} \right.$

Từ đó ƯCLN(22, 5) = 1

Vậy 22 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bội chung nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất là gì?

Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n vừa là bội của a vừa là bội của b.
Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b.
Ta kí hiệu: tập hợp các bội chung của a và b là: BC(a; b) và tập hợp các bội chung nhỏ nhất của a và b kí hiệu: BCNN(a; b)

Nhận xét: Ta có:

BCNN(a, 1) = a
BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b)
Mọi bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b)
Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.

Ví dụ: BCNN(10, 1) = 10; BCNN(5, 10, 1) = BCNN(5, 10)

Cách tìm BCNN

Bài toán: Tìm BCNN(a, b, c, …)

Phương pháp giải

Ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích các thừa số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Chú ý:

Ta có thể tìm BCNN bằng cách tính sau: ƯCLN(a, b).BCNN(a, b) = a.b
Muốn tìm bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Các dạng bài tập bội chung nhỏ nhất

Dạng 1. Tìm bội chung nhỏ nhất của các số cho trước

Phương pháp giải.

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng
Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất.
Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được BCNN cần tìm.

Ví dụ: Tìm:

a) BCNN(15,18)	b) BCNN(84,108)
c) BCNN(33,44,55)	d) BCNN(8,18,30)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 15 = 3.5 \\ 18 = 2.3^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow BCNN(15;18) = 2.3^{2}.5 = 90$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 84 = 2^{2}.3.7 \\ 108 = 2^{2}.3^{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow BCNN(84;108) = 2^{2}.3^{3}.7 = 756$

c) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 33 = 3.11 \\ 44 = 4.11 \\ 55 = 5.11 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow BCNN(33;44;55) = 3.4.5.11 = 660$

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 8 = 2^{3} \\ 18 = 2.3^{2} \\ 30 = 2.3.5 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow BCNN(8;18;30) = 2^{3}.3^{2}.5 = 240$

Dạng 2. Tìm bội chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải.

Bước 1. Tìm BCNN của các số đó
Bước 2. Tìm các bội của BCNN này
Bước 3. Chọn trong các số đó các bội thỏa mãn điều kiện đã cho.

Ví dụ: a) Tìm các bội chung của 8 và 10 thông qua BCNN.

b) Tìm các bội chung của 8; 12 và 15 thông qua BCNN.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $BCNN(8;10) = 40$

Vậy $BC(8;10) = \left\{ 0;40;80;120;... \right\}$

b) Ta có $BCNN(8;12;15) = 120$

Vậy $BC(8;12;15) = \left\{ 0;120;240;360;... \right\}$

Ví dụ: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn $x \vdots 20;x \vdots 35$ và $x < 500$ .

Hướng dẫn giải

Vì $x \vdots 20;x \vdots 35$ nên $x \in BC(20;35) = \left\{ 0;140;280;420;560;... \right\}$

Mà $x < 500$ nên $x \in \left\{ 0;140;280;420 \right\}$ .

Dạng 3. Tìm các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải.

Sử dụng định nghĩa về BCNN.
Khi tìm hai số biết ƯCLN và BCNN thì tích của hai số là tích của BCNN và ƯCLN.

Ví dụ: Tìm số tự nhiên a, b biết rằng:

a) $a - b = 4$ và $BCNN(a;b) = 60$

b) $UCLN(a;b) = 5;BCNN(a;b) = 60$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $BCNN(a;b) = 60 \Rightarrow 60 \vdots a;60 \vdots b$ hay a; b là ước tự nhiên của 60

Các ước tự nhiên của 60 là: $1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60$

Vì $a - b = 4$ nên $a > b$

Ta xét bảng sau:

a	5	6	10
b	1	2	6
$BCNN(a;b)$	5	6	30
	Loại	Loại	Loại

Vậy không tìm được cặp số tự nhiên thỏa mãn đề bài.

b) Ta có: $UCLN(a;b) = 5 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 5a_{1} \\ b = 5b_{1} \\ \left( a_{1};b_{1} \right) = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Ta có: $a.b = 5.150 = 750 \Rightarrow a_{1}.b_{1} = 30$

Ta có bảng sau:

$a_{1}$	1	2	3	5
$a$	5	10	15	25
$b_1$	30	15	10	5
$b$	150	75	50	30

Vì vai trò của a, b như nhau nên ta có các cặ đảo ngược vị trí.

Vậy các cặp số tự nhiên (a; b) cần tìm là:

$(5;150),(150;5),(10;75),(75;20),$ $(15;50),(50;15),(25;30),(30;25)$

Dạng 4: Bài toán có lời văn

Phương pháp giải.

Bước 1. Gọi ẩn, đặt đơn vị, điều kiện cho ẩn
Bước 2. Dựa vào đề bài biểu diễn các dữ kiện theo ẩn.
Bước 3. Tìm ẩn, so sánh điều kiện
Bước 4. Trả lời và kết luận.

Ví dụ: Một số chiếc đũa khi xếp thành từng bó 10 chiếc, 12 chiếc, 18 chiếc đều vừa đủ. Tìm tổng số đũa biết số chiếc đũa trong khoảng 200 đến 500.

Hướng dẫn giải

Gọi số chiếc đũa cần tìm là x chiếc.

Điều kiện: $200 ≤ x ≤ 500$

Vì khi bó 10 chiếc, 12 chiếc, 18 chiếc đều vừa đủ nên $x \vdots 10;x \vdots 12;x \vdots 18$ và $x \in BC(10;12;18)$

$BCNN(10;12;18) = 360$

$\Rightarrow BC(10;12;18) = \left\{ 0;360;720;... \right\}$

Suy ra $x \in \left\{ 0;360;720;... \right\}$ mà $200 ≤ x ≤ 500$ nên $x = 360$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số chiếc đũa cần tìm là 360 chiếc.

Ví dụ về tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Ví dụ 1: Tìm BCNN(20; 54)

Giải:

20=2².5

54 = 2.3³

BCNN(20;54)= 2². 3³.5=540

Ví dụ 2: Biết số học sinh của một trường trong khoảng từ 400 đến 500 học sinh. Khi tập thể dục giữa giờ thì xếp thành các hàng có số học sinh bằng nhau thì thấy xếp thành 12 hàng, 15 hàng, 21 hàng đều vừa đủ. Tính số học sinh của trường đó.

Giải:

12=2².3 ; 15=3.5; 21=3.7

BCNN (12;15;21) = 2².3.5.7=420

BC(12; 15;21) chính là bội của BCNN(12;15;21)

⇒ BC(12;15;21)= B(420) = {0,420,840,.....}

Số học sinh 400 ≤ x ≤ 450

⇒ Số học sinh là 420 học sinh.

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho 15 và a chia hết cho 18.

Giải

a chia hết cho 15 và a chia hết cho 18 nên a là bội chung của 15 và 18 .

a lại là số nhỏ nhất khác 0 nên suy ra: a là BCNN(15, 18) = 90.

-------------------------------------------------------

Ngoài ƯCLL, BCNN, mời các bạn truy cập vào mục Giáo dục, học tập của Quantrimang.com để tìm hiểu thêm về những kiến thức toán học khác như phân số, tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị, cấp số cộng...

Thứ Tư, 04/12/2024 10:21

4,2 ★ 135 👨 276.828