Cách tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN), bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) là gì, bội chung nhỏ nhất là gì? Cách tìm ước chung lớn nhất, cách tìm bội chung nhỏ nhất? Mời các bạn cùng tham khảo bài viết dưới đây tìm hiểu thêm về kiến thức toán học này nhé.

Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất là gì?

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Trong tiếng Anh, ước chung lớn nhất gọi là greatest common factor (GCF).

Ký hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a,b).

Ví dụ: Tìm ƯCLN(24, 16, 32)

Ư(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Ư(16) = {1, 2, 4, 8, 16}

Ư(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}

Vậy ƯCLN(24, 16, 32) = 8

Cách tìm ước chung lớn nhất

Cách 1: Liệt kê các ước chung của các số rồi chọn ra ƯCLN

Để tìm ước chung lớn nhất của các số, ta tìm tập hợp các ước của từng số đó. Sau đó chọn ước chung lớn nhất.

Ví dụ: Tìm Ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên 16 và 30.

Đầu tiên ta tìm tập hợp các ước của 16 và 30.

Ư(15) = { 1, 2, 4 , 8, 16 }

Ư(30) = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 }

Vậy ƯCLN (16,30) = 2

Cách 2: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Cách 3: Tìm ƯCLN bằng bội chung nhỏ nhất (BCNN) (điều kiện a, b khác 0)

Ước chung lớn nhất của a và b có thể tính bằng cách lấy tích của a và b chia cho bội chung nhỏ nhất (BCNN) của a và b.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(12, 30)

B(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60,...}

B(30) = {0, 30, 60,...}

Ta có: BCNN(12,30) = 60

Vậy ƯCLN(12,30) = 12.30:60 = 6

Cách 4: Sử dụng thuật toán Ơclit

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lấy số lớn chia số nhỏ, giả sử a = b . x + r

+ Nếu r ≠ 0 ta thực hiện bước 2

+ Nếu r = 0 thì ƯCLN(a, b) = b

Bước 2: Lấy số chia chia cho số dư

B=r . y + r1

• Nếu r1 # 0, ta thực hiện bước 3.
• Nếu r1 = 0 thì ƯCLN(a, b) = r

Bước 3: Quá trình này được tiếp tục cho đến khi được một phép chia hết.

Những lưu ý khi tìm ước chung lớn nhất

• Nếu trong các số đã cho có 1 số bằng 1 thì ước chung lớn nhất của các số đó bằng 1.

Ví dụ: ƯCLN(1, 55, 95) = 1

• Nếu các số đã cho mà không có thừa số nguyên tố chung thì ước chung lớn nhất của số đó là 1.

Ví dụ: Số 5 và 8 không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN(5,8) = 1

• Hai hay nhiều số có ước chung lớn nhất bằng 1 được gọi là những số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ: ƯCLN (6,35) = 1 nên 6 và 35 là hai số nguyên tố cùng nhau.

• Trong các số đã cho, nếu có số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ước chung lớn nhất của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Ví dụ: 5 đều là ước của 5 và 15 nên ƯCLN(5,15) = 5

Bội chung nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất là gì?

Bội chug nhỏ nhất của a, b là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của a, b.

Bội số chung nhỏ nhất của hai số a và b được ký hiệu là [a,b], BCNN(a,b).

Nhận xét: Ta có:

BCNN(a, 1) = a

BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b)

Mọi bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b)

Ví dụ:

BCNN(10, 1) = 10; BCNN(5, 10, 1) = BCNN(5, 10)

Cách tìm BCNN

Bài toán: Tìm BCNN(a, b, c, …)

Phương pháp giải

Ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích các thừa số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Chú ý:

Ta có thể tìm BCNN bằng cách tính sau: ƯCLN(a, b).BCNN(a, b) = a.b

Muốn tìm bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Ví dụ về tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Ví dụ 1: 

Tìm BCNN(20;54)

Giải:

20=2².5

54 = 2.3³

BCNN(20;54)= 2². 3³.5=540

Ví dụ 2:

Biết số học sinh của một trường trong khoảng từ 400 đến 500 học sinh. Khi tập thể dục giữa giờ thì xếp thành các hàng có số học sinh bằng nhau thì thấy xếp thành 12 hàng, 15 hàng, 21 hàng đều vừa đủ. Tính số học sinh của trường đó.

Giải:

12=2².3 ; 15=3.5; 21=3.7

BCNN (12;15;21) = 2².3.5.7=420

BC(12; 15;21) chính là bội của BCNN(12;15;21)

⇒ BC(12;15;21)= B(420) = {0,420,840,.....}

Số học sinh 400 ≤ x ≤ 450

⇒ Số học sinh là 420 học sinh.

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho 15 và a chia hết cho 18.

Giải

a chia hết cho 15 và a chia hết cho 18 nên a là bội chung của 15 và 18 .

a lại là số nhỏ nhất khác 0 nên suy ra: a là BCNN(15, 18) = 90.

Ngoài ƯCLL, BCNN, mời các bạn truy cập vào mục Giáo dục, học tập của Quantrimang.com để tìm hiểu thêm về những kiến thức toán học khác như phân số, tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị, cấp số cộng...