Claude thử giải Giả thuyết Riemann - Chuyện gì đã xảy ra?

Ngày 10/8, Anthropic công bố một ghi chú nghiên cứu mô tả những gì xảy ra khi một nhân viên yêu cầu Claude thử giải Giả thuyết Riemann, có lẽ là bài toán mở nổi tiếng nhất trong toán học. Anthropic cũng không quên nhấn mạnh rằng dự án này được thực hiện trên một phiên bản Claude chưa được phát hành, điều mà công ty chắc chắn rất muốn các nhà đầu tư lưu ý.

Claude không chứng minh được Giả thuyết Riemann. Không ai thực sự kỳ vọng điều đó. Tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu một câu hỏi phụ phát sinh từ cùng lĩnh vực, Claude đã tạo ra một cải tiến thực sự đối với một cận dưới tồn tại từ lâu: tỷ lệ các zero của hàm zeta Riemann được chứng minh là nằm trên đường tới hạn mà giả thuyết dự đoán. Trước đây, con số này là 41,6%, kết quả của hàng chục năm nghiên cứu. Kết quả mới của Claude nâng tỷ lệ đó lên 67,2%.

Hai nhà toán học của Anthropic đã kiểm tra công trình này trong nội bộ, sau đó hai chuyên gia bên ngoài là Brian Conrey và Dan Goldston cũng được mời đánh giá. Claude đồng thời tạo ra một bản hình thức hóa bằng Lean có thể được máy kiểm chứng, cho phép các bước logic trong chứng minh được xác minh một cách cơ học. Kết quả này là có thật, đáng chú ý và có ý nghĩa.

Giả thuyết Riemann là gì?

Về cơ bản, hàm zeta Riemann là một hàm toán học, mã hóa thông tin về sự phân bố của các số nguyên tố.

Các số nguyên tố không ngẫu nhiên theo nghĩa chúng ta không thể dự đoán từng số một. Việc một số cụ thể có phải số nguyên tố hay không hoàn toàn được xác định. Tuy nhiên, chúng cũng không tuân theo một công thức đơn giản, bởi không có phương trình nào chỉ cần nhập vào là cho ra số nguyên tố thứ 100 triệu.

Có một số công thức có thể tìm số nguyên tố, nhưng về bản chất chúng chỉ là những cách kiểm tra từng số được ngụy trang dưới hình thức khác. Nếu nhìn ở quy mô lớn hơn, mật độ số nguyên tố giảm theo một tốc độ có thể dự đoán khá chính xác: xung quanh một số lớn n, trung bình cứ khoảng ln(n) số thì có một số nguyên tố. Tỷ lệ này vẫn tiếp tục phù hợp khi n tăng lên.

Hàm zeta là gì và nó liên quan thế nào đến số nguyên tố?

Giống như nhiều hàm toán học khác, hàm zeta có các zero, tức những điểm mà giá trị của hàm bằng chính xác 0. Trong trường hợp hàm zeta, có vô hạn zero như vậy. Một số zero là những zero tầm thường và đã được hiểu rõ; phần còn lại mới là điều thú vị. Giả thuyết Riemann cho rằng mọi zero không tầm thường đều nằm chính xác trên một đường thẳng đứng cụ thể, được gọi là đường tới hạn.

Để thấy mối liên hệ với số nguyên tố, hãy nhìn vào dạng đơn giản nhất của hàm zeta. Nó là một tổng: 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + 1/5ˢ + ..., chạy qua mọi số nguyên dương và đưa chúng vào một số mũ s. Chưa có số nguyên tố nào xuất hiện ở đây. Chỉ đơn giản là phép cộng các phân số.

Nhưng vào những năm 1700, Euler đã chỉ ra rằng tổng vô hạn này chính xác bằng một tích vô hạn chỉ sử dụng các số nguyên tố: một chuỗi các thừa số dạng 1/(1 − 1/2ˢ) × 1/(1 − 1/3ˢ) × 1/(1 − 1/5ˢ) × 1/(1 − 1/7ˢ) × ..., mỗi thừa số tương ứng với một số nguyên tố và hoàn toàn không có số hợp nào xuất hiện. Lý do nằm ở tính phân tích duy nhất: mọi số nguyên đều có thể được phân tích thành các số nguyên tố theo đúng một cách, vì vậy việc cộng trên tất cả số nguyên và nhân trên tất cả số nguyên tố cuối cùng mã hóa cùng một thông tin. Chính đẳng thức này tạo nên mối liên hệ quan trọng. Nó cho thấy hàm zeta không chỉ liên quan đến các số nguyên tố mà thực chất là một cách khác để biểu diễn chúng.

Điểm cuối cùng cần biết là Riemann đã chỉ ra rằng các zero kiểm soát sai số trong cách các số nguyên tố thưa dần, tức ước tính "cứ khoảng ln(n) số thì có một số nguyên tố" nói ở trên. Các zero giống như phần chú thích chi tiết giúp hiệu chỉnh một ước tính tổng quát: chúng cho biết những sai lệch giữa vị trí thực tế của các số nguyên tố và mức trung bình trơn nằm ở đâu. Giả thuyết Riemann cho rằng mọi zero thú vị, hay các zero "không tầm thường", đều nằm chính xác trên đường tới hạn. Nếu điều này đúng, những sai lệch nói trên sẽ nhỏ và có tính quy luật nhất có thể, đồng nghĩa các số nguyên tố được phân bố theo cách có thể dự đoán ở mức tối đa.

Vậy 41,6% và 67,2% có ý nghĩa gì?

Giả thuyết Riemann nói rằng 100% các zero không tầm thường nằm trên đường tới hạn. Chưa ai chứng minh được điều này và cũng chưa ai bác bỏ nó. Tuy nhiên, các nhà toán học đã chứng minh được một điều khác bằng những phương pháp hoàn toàn khác nhau: một cận dưới, tức tỷ lệ tối thiểu được đảm bảo rằng các zero phải nằm trên đường tới hạn, bất kể điều gì xảy ra.

Điều này không giống với việc máy tính kiểm tra từng zero một. Hàng nghìn tỷ zero riêng lẻ đã được tính toán và cho đến nay tất cả đều nằm trên đường tới hạn. Nhưng đó vẫn chỉ là một mẫu hữu hạn. Dù mẫu lớn đến đâu, nó cũng không thể loại trừ khả năng một zero nào đó ở rất xa trên trục số phá vỡ quy luật.

Quan trọng hơn, hai con số 41,6% và 67,2% hoàn toàn không phải kết quả lấy mẫu. Đây là những mệnh đề đã được chứng minh về toàn bộ tập hợp vô hạn các zero: một bảo đảm toán học nghiêm ngặt rằng ít nhất tỷ lệ đó, khi xét ngày càng nhiều zero, sẽ luôn nằm trên đường tới hạn. Đây là một cận dưới toán học thực sự, không phải ước tính hay xác suất.

Vì vậy, khi con số tăng từ 41,6% lên 67,2%, không có "zero mới" nào được phát hiện. Điều thay đổi là mức cận dưới được đảm bảo đã tăng lên nhờ những kỹ thuật chứng minh mới, giúp rút ra nhiều hơn sự chắc chắn từ chính tập hợp vô hạn đó. Việc nâng cận dưới lên dù chỉ một chút vốn đã là công việc kỹ thuật khó khăn và thường mất nhiều năm. Tăng nó thêm 25 điểm phần trăm trong một bước chính là lý do kết quả này đáng được chú ý.

Giả thuyết Riemann vẫn chưa được giải?

Ngay cả nếu cận dưới cuối cùng đạt 99%, đó vẫn chưa phải là một chứng minh. Giả thuyết là một mệnh đề đúng-sai tuyệt đối về mọi zero. Chỉ cần một zero duy nhất nằm ngoài đường tới hạn ở bất kỳ đâu trong tập hợp vô hạn cũng đủ bác bỏ giả thuyết.

Điều Claude đạt được là một cải tiến thực sự và đã được kiểm chứng đối với một câu hỏi định lượng cụ thể mà các nhà toán học đã nghiên cứu miệt mài trong nhiều thập kỷ, kể từ khi Montgomery đưa ra những kỹ thuật của mình vào năm 1973. Kết quả của Claude dựa trực tiếp trên hướng nghiên cứu đó: các kỹ thuật năm 1973, sau này được Baluyot, Goldston, Suriajaya và Turnage-Butterbaugh điều chỉnh để không còn giả định rằng giả thuyết là đúng, kết hợp với một công trình năm 2000 của Enrico Bombieri.

Claude đã tìm ra cách kết hợp các kết quả này, xử lý một không gian hàm nhất định với cả phần xác định dương và xác định âm cùng lúc thay vì tách riêng chúng. Chính điều này đã đẩy cận dưới từ 41,6% lên 67,2%.

Claude đã làm như thế nào?

Theo Anthropic, một nhân viên của công ty có tên Jarred Sumner chỉ đơn giản yêu cầu Claude, chạy bên trong Claude Code, thử giải Giả thuyết Riemann và để mô hình tự quyết định phần lớn các lựa chọn toán học.

Lần thử đầu tiên thất bại: Claude tạo ra và thử 650 ý tưởng khác nhau nhưng không ý tưởng nào thành công. Sau khi được yêu cầu thử lại, Claude dành khoảng một ngày rưỡi để điều phối khoảng 60 subagent. Các subagent này cùng nhau thực hiện khoảng 2.400 lệnh shell và viết hàng trăm script Python, đối chiếu các tuyên bố số học với những zero zeta đã biết và kiểm tra lẫn nhau.

Trong số 60 subagent đó, chỉ hai agent cuối cùng phát triển được những ý tưởng toán học cốt lõi có ý nghĩa; 13 agent đóng góp các ý tưởng hỗ trợ, 30 agent thử những hướng tiếp cận không thành công, 13 agent đóng vai trò kiểm chứng và hai agent cuối cùng hỗ trợ soạn thảo bài nghiên cứu.

Toàn bộ quá trình sử dụng khoảng 31 triệu token đầu ra qua hai phiên làm việc. Đáng chú ý, đóng góp của con người trong quá trình này chủ yếu là động viên Claude, kiểu như "tiếp tục đi!". Anthropic cho rằng sự khích lệ này có thể đã giúp Claude vượt qua sự hoài nghi ban đầu của chính nó về việc liệu bài toán có thể giải được hay không.

Sau khi tìm ra kết quả, Claude không dừng lại. Nó yêu cầu các subagent tìm kiếm phản ví dụ, lấy 54 bài nghiên cứu từ arXiv để kiểm tra xem kết quả này có từng được công bố trước đó hay chưa, rồi độc lập tái suy ra kết quả như một bước kiểm tra. Sau đó, Claude đề xuất viết kết quả thành một bài nghiên cứu và khuyến nghị một nhà toán học chuyên về lý thuyết số kiểm tra công trình.

Đó chính xác là những gì xảy ra tiếp theo. Các nhà toán học của Anthropic là Levent Alpöge và Ralph Furman kiểm tra công trình trong nội bộ, trong khi Conrey và Goldston đánh giá từ bên ngoài. Sau đó là một bản hình thức hóa độc lập bằng Lean do Eric Easley của Anthropic thực hiện.

Những điều vẫn chưa được giải quyết

Có hai điểm đáng chú ý. Thứ nhất, quá trình phản biện khoa học chính thức vẫn chưa hoàn tất, dù công trình đã được các chuyên gia đánh giá không chính thức.

Thứ hai, kỹ thuật này được cho là không thể dẫn tới lời giải hoàn chỉnh cho Giả thuyết Riemann. Chính Anthropic cũng nói rõ rằng hướng tiếp cận này không được kỳ vọng có thể mở rộng thành một chứng minh thực sự cho giả thuyết.

Đây không phải bước đột phá giải quyết Giả thuyết Riemann, và không ai tham gia nghiên cứu tuyên bố như vậy. Nhưng đây là một cải tiến thực sự, đã được hình thức hóa và kiểm chứng, đối với một câu hỏi toán học cụ thể, kỹ thuật và đã tồn tại hàng chục năm. Điều đáng chú ý hơn là kết quả này xuất hiện trong quá trình Claude thử sức với chính mục tiêu lớn hơn: Giả thuyết Riemann.

Nói cách khác, Claude chưa giải được một trong những bài toán nổi tiếng nhất của toán học. Nhưng trong lúc cố gắng giải nó, AI đã tạo ra một kết quả mới và đáng kể cho một bài toán phụ mà các nhà toán học đã nghiên cứu trong nhiều thập kỷ. Đây có lẽ mới là phần thú vị nhất của câu chuyện.