Các công thức đạo hàm và đạo hàm lượng giác đầy đủ nhất

PP

Dưới đây là bảng công thức đạo hàm, đạo hàm lượng giác, các hàm lượng giác và công thức đạo hàm cao cấp đầy đủ nhất giúp các bạn dễ dàng ôn lại những kiến thức toán học về đạo hàm đã được học một cách nhanh nhất để giải bài tập nhanh hơn, hiệu quả hơn.

Đạo hàm là gì? Định nghĩa đạo hàm

Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại $x_0$ , khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ .

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $(a;b)$ và $x_0\in(a;b)$ :
$f'({x_0})$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ $(\Delta x = x – x_0, \Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$
Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì nó liên tục tại điểm đó.

Công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử $u=u(x)$ và $v=v(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:

$(u+v)'=u'+v'$

$(u-v)'=u'-v'$

$(u.v)'=u'.v+u.v'$

$y'_x=y'_u.u'_x$

$(ku)'=ku'$

$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v−uv'}{v^2},\ (v(x)\ne0)$

$\left(\frac{k}{u'}\right)=-\frac{k.u'}{u^2}$

Đạo hàm các hàm số sơ cấp

$(\mathrm{C})^{\prime}=0$

$\left(\mathrm{x}^a\right)^{\prime}=a \cdot \mathrm{x}^{a-1}$ với $a \in \mathrm{R}$

$\left(\mathrm{u}^a\right)^{\prime}=a \cdot \mathrm{u}^{a-1} \cdot \mathrm{u}^{\prime}$ với $a \in \mathrm{R}$

$(\sqrt{\mathrm{x}})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{\mathrm{x}}}$

$\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{\prime}=-\frac{1}{\mathrm{x}^2}$

$(\sqrt{\mathrm{u}})^{\prime}=\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{2 \sqrt{\mathrm{u}}}$

$\left(\frac{1}{\mathrm{u}}\right)^{\prime}=-\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{\mathrm{u}^2}$

$(\sqrt[n]{x})^{\prime}=\frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}} \quad n \in N^*, n>1$

$(\sqrt[n]{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{n \sqrt[n]{u^{n-1}}} \quad n \in N^*, n>1$

$(\operatorname{Sin} x)^{\prime}=\operatorname{Cos} x$

$(\operatorname{Sin} u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \operatorname{Cos} u$

$(\operatorname{Cos} x)^{\prime}=-\operatorname{Sin} x$

$(\operatorname{Cos} u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \operatorname{Sin} u$

$(\tan x)^{\prime}=1+\tan ^2 x=\frac{1}{\cos ^2 x}$

$(\tan u)^{\prime}=u^{\prime} .\left(1+\tan ^2 u\right)=\frac{u^{\prime}}{\operatorname{Cos}^2 u}$

$(\operatorname{Cot} x)^{\prime}=-\left(1+\operatorname{Cot}^2 x\right)=-\frac{1}{\operatorname{Sin}^2 x}$

$(\operatorname{Cot} u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot\left(1+\operatorname{Cot}^2 u\right)=-\frac{u^{\prime}}{\operatorname{Sin}^2 u}$

$\left(e^x\right)^{\prime}=e^x$

$\left(e^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^u$

$\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \cdot \ln a$

$\left(a^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^u \cdot \ln a$

$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$

$(\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$

$\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x.\ln a}$

$\left(\log _a u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}$

$\left(\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}\right)^{\prime}=\frac{\mathrm{ad}-\mathrm{bc}}{(\mathrm{cx}+\mathrm{d})^2}$

$\left(\frac{\mathrm{ax}{ }^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}}{\mathrm{ex}+\mathrm{f}}\right)^{\prime}=\frac{\mathrm{aex}^2+2 \mathrm{af} \cdot \mathrm{x}+(\mathrm{bf}-\mathrm{ce})}{(\mathrm{ex}+\mathrm{f})^2}$

$\left(\frac{a_1 x^2+b_1 x+c_1}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}\right)=\frac{\left|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right|. x^2+2\left|\begin{array}{ll}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right| .x+\left|\begin{array}{ll}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{array}\right|}{\left(a_2 x^2+b_2 x+c_2\right)^2}$

Đạo hàm cấp cao

$(x^m)^{\left(n\right)}=m(m−1)...\ (m−n+1).x^{\left(m−n\right)}$

$(\ln x)^{(n)}=\frac{(−1)^{n−1}(n−1)!}{x^n}$

$(a^x)^{(n)}=a^x.\ln^na\ \ \ \ với\ a>0.$

$(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2})$

$\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\frac{\pi}{2})$

$\left(e^x\right)^{(n)}=e^x$

$(\frac{1}{x})^{(n)}=(−1)^n.n!.x^{−n−1}$

Quy tắc cơ bản của đạo hàm

(C') = 0

Đạo hàm của hằng số bằng 0

$(u+v)′=u′+v′$

$^{(u−v)′=u′−v′}$

$\left(u_1+u_2+...+u_n\right)'=\left(u_1\right)'+\left(u_2\right)'+...\ \left(u_n\right)'$

$\left(u_1-u_2-...-u_n\right)'=\left(u_1\right)'-\left(u_2\right)'-...\ \left(u_n\right)'$

Đạo mà của một tổng bằng tổng các đạo hàm

$\left(uv\right)'=\left(u\right)'v+\left(v\right)'u$

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{\left(u\right)'v-\left(v\right)'u}{v^2}$

Quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Nếu $y=y(u(x))$ thì $y'(x)=y'(u)\times u'(x)$

Công thức đạo hàm cơ bản

Đạo hàm của f(x) với x là biến số

$(k x)^{\prime}=k$

$\left(x^n\right)^{\prime}=n x^{n-1}$

$\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$

$(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

$(\sin x)^{\prime}=\cos x$

$(\cos x)^{\prime}=-\sin x$

$(\tan x)^{\prime}=1+\tan ^2 x=\frac{1}{\cos ^2 x}$

$(\cot x)^{\prime}=-\left(1+\cot ^2 x\right)=-\frac{1}{\sin ^2 x}$

$\left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x$

$\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \times \ln a$

$(\ln x)^{\prime}=(\ln |x|)^{\prime}=\frac{1}{x}$

$(\log a)^{\prime}=\left(\log _a|x|\right)^{\prime}=\frac{1}{x \times \ln a}$

Đạo hàm của f(u) với u là một hàm số

$(k \times u)^{\prime}=k \times u^{\prime}$

$\left(u^n\right)^{\prime}=n \times u^{n-1} \times(u)^{\prime}$

$\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{(u)^{\prime}}{u^2}$

$(\sqrt{u})^{\prime}=-\frac{(u)^{\prime}}{2 \sqrt{u}}$

$(\sin u)^{\prime}=\cos u \times(u)^{\prime}$

$(\cos u)^{\prime}=-\sin u \times(u)^{\prime}$

$(\tan u)^{\prime}=\left(1+\tan ^2 u\right) \times(u)^{\prime}=\frac{(u)^{\prime}}{\cos ^2 u}$

$(\cot u)^{\prime}=-\left(1+\cot ^2 u\right) \times(u)^{\prime}=-\frac{(u)^{\prime}}{\sin ^2 x}$

$\left(\mathrm{e}^u\right)^{\prime}=\mathrm{e}^u \times(u)^{\prime}$

$\left(a^u\right)^{\prime}=a^u \times \ln a \times(u)^{\prime}$

$(\ln u)^{\prime}=(\ln |u|)^{\prime}=\frac{(u)^{\prime}}{u}$

$\left(\log _a u\right)^{\prime}=\left(\log _a|u|\right)^{\prime}=\frac{(u)}{u \times \ln a}$

Công thức đạo hàm lượng giác

$(\sin x)’=\cos x$

$(\cos x)’=−\sin x$

$(\tan x)′=(\frac{\cos x}{\sin x})′=\frac{\cos^2x+\cos^2x}{\sin^2x}=\frac{1}{\cos^2x}$

$(\cot x)′=(\frac{\sin x}{\cos x})′=\frac{-\sin^2x−\sin2x}{\cos^2x}=−(1+\cot^2x)$

$\left(\sec\left(x\right)\right)'=\frac{1}{\left(\cos x\right)'}=\frac{\sin\ x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos x}\times\frac{\sin x}{\cos x}=\sec\left(x\right)\times\tan x$

$\left(\csc\left(x\right)\right)'=\left(\frac{1}{\sin x}\right)'=-\frac{\cos x}{\sin^2x}=-\frac{1}{\sin x}\times\frac{\cos x}{\sin x}=-\csc\left(x\right)\cot\left(x\right)$

$\left(\arcsin\left(x\right)\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\left(\arccos\left(x\right)\right)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\left(\arctan\left(x\right)\right)'=\frac{1}{x^2+1}$

Bảng đạo hàm

$x^a{ }^{\prime}=a x^{a-1}$	$\left(u^a\right)^{\prime}=a \cdot u^{\prime} \cdot u^{a-1}$
$(\sin x)^{\prime}=\cos x$	$(\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u$
$(\cos x)^{\prime}=-\sin x$	$(\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u$
$(\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^2 x}=1+\tan ^2 x$	$(\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^2 u}=u^{\prime} \cdot\left(1+\tan ^2 u\right)$
$(\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^2 x}=-\left(1+\cot ^2 x\right)$	$(\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^2 u}=-u^{\prime} \cdot\left(1+\cot ^2 u\right)$
$\log _a x^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$	$\log _a u^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}$
$\ln x{ }^{\prime}=\frac{1}{x}$	$\ln u^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$
$a^x{ }^{\prime}=a^x \cdot \ln a$	$a^u{ }^{\prime}=a^u \cdot u^{\prime} \cdot \ln a$
$e^x{}^{\prime}=e^x$	$\left(e^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^u$